Propiedad axioma

Si a,b, pertenecen a Z=0 ---> ab≠ 0

a los elementos a,b cuyo producto es cero se llama "divisores cero" por lo tanto en Z NO hay divisores ≠ 0

Dominios en Z

Si A es un anillo conmutativo con 1 en el cual se cumple el axioma se dira que A es un dominio entero por lo tanto podemos decir que Z es un dominio.

En un dominio entero vale la ley de la cancelacion para la multiplicacion.

 Si a,b y c pertenecen a Z a≠ 0 --> ab=ac --> b=c

           ab = ac
ab+(-ac) = ac+(-ac)
     ab-ac = ac-ac
     ab-ac = 0
     a(b-c) = 0
1/a[a(bc)] = 1/a(0)
(1/a*a)(b-c) = 1*0/a
      1(b-c) = 0/a
         b-c = 0
(b-c)+c = 0+c
(b+(-c))+c = 0+c
b+((-c)+c) = 0+c
b+0 = c
b = c

Asi podemos decir que:
 Si Z es un dominio entero, en Z cale la ley de la cancelacion.
 En esta propiedad el factor que podemos cancelar debe ser ≠ 0
 Si a=0 puede ser que ab=ac sin que bc sean iguales.

Propiedades de los anillos

1) Ley de la cancelacion:

Si a,b,c pertenecen a Z    a+b = a+c --=c-> b

 a+b = a+c
 a+(-a)=0

 -a+(a+b) = -a+(a+c)                Aplicando:
 (-a+a)+b = (-a+a)+c                 -El inverso aditivo
    0+b      =     0+c                    -La asociativa para la adicion
         b     =     c                         -El neutro en la adicion



Aplicando los axiomas.
Si a,b,c pertencen a Z  a+c = b+c -> a=b

8x+x = 8+7
-8+(8+x) = -8+(8+7)
(-8+8)+x = (-8+8)+7
     0+x    =    0+7

2) En la multiplicacion:

a pertenece a Z, se tiene que:   a0=0

 0+0 = 0
  0a  =  (0+0)a
        =  0a+0a
        =  0+0
  0a  =  0


El inverso aditivo del inverso aditivo y de a pertenece a Z = a

(-a)+a = 0
-(-a)+(-a)=0
a+(-a) = 0
a+(-a) = (-a)+(-a)
a = -(-a)

Propiedades basicas de las operaciones en Z

Consta de dos operaciones (binarias): + , *

1) Suma en Z es conmutativa: Si a,b pertenecen a Z, entonces
    a+b = b+a   ;   4+5 = 5+4

2)Suma de Z es Asociativa: Si a,b,c pertenecen a Z, entonces
   a+(b+c) = (a+b)+c    ;   3+(4+5) = (3+4)+5

3)En la suma existe un elemento Neutro en Z = 0
   a+0 = 0+a     ;     a=a

4) En el producto de Z es Conmutativo: Si a,b, pertenecen a Z
   a(b) = (b)a    ;   4(5) = 5(4)

5)En el producto de Z es Asociativo: Si a,b,c pertenecen a Z
   a*(b*c) = (a*b)*c    ;    3*(4*5) = (3*4)*5

6)En el producto de E un elemento Neutro en Z :1 ; si a pertenece a Z
   a*1 = 1*a    ;    5*1 =1*5

7)En la suma de Z, existe un numero inverso aditivo; si a pertenece a Z
   a+(-a) = (-a)+a

8)En el producto de Z, el producto  distribuye a la suma; si a,b,c, pertenece a Z
   a(b+c) = ab+ac  -por la derecha
   (a+b)c = ac+bc  -por la izquierda

Numeros Enteros

Con los numeros naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor.
El conjunto de los numeros enteros esta formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

  Z={...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5...}

El valor absoluto de un numero es:
|-5|= 5

Del aleman "Zah" (numeros).

Algunas caracteristicas del conjunto:

1) El minimo en los enteros no existe
2)El maximo en los enteros no existe
3)Es cerrado Z bajo (+)? Si, porque Z1+Z2= Z3
4)Es cerrado Z bajo (*)?Si, porque Z1(Z2)=Z3
5)Por lo tanto  (Z,+,*,<) es un sistema numerico

Anillo en Z

El conjunto Z, con operaciones + o * se forma un anillo.

Sea A un conjunto con dos elementos

 A={a,b}

+|a  b           *|a b 

a|a  b            a|a a

b|b a            b|a b

a+b= b   por lo tanto  a+b=b+a

b+a=b

a(b)=a   por lo tanto  a(b)=(b)a

b(a)=a

_____________________________________________


(a+b)+b = a+b =  b
a+(a+b) = a+b =  b

(a+b)+a = b+a = b
a+(a+b) = a+b = b

(a+b)+b = b+b = a
a+(b+b) = a+a = a

(b+a)+a = b+a = b
b+(a+a) = b+a = b

(b+a)+a = b+b = a
b+(a+b) = b+b = a

(b+b)+a = a+a = a
b+(b+a) = b+b =a

(b+b)+b = a+b = b
b+(b+b) = b+a = b