Principio de Induccion Modificada

Si MCN
 I) 1 pertenece a M
II) Si 1,2,3, ... , n pertenece a M ---> N+1 pertenece a M

Principio del buen orden

Si AC no vacio de N ---> A tiene un elemento que es menor que todos los demas elementos de A.

*)El principio de induccion => El buen orden

Sea A un subconjunto No vacio de N supongamos que A no tiene ningun elemento menor que todos los demas de A, constituyamos un conjunto B con todos los numeros naturales b desigual b < a.

Como ningun elemento es menor que si, B esta contenido en el A' (conjunto complementario de A).

13{ 1,2,3 ... b, b+1} por lo tanto l pertenece a 13

Si 1 no pertenece a A pues de lo contrario en A habria un elemento, el menor que todos los demas de A. Ademas 1 es menor que todos los demas naturales de A, luego 1 pertenece a A.

II) Supongamos que b perteneece a B. Entonces b+1 pertenece a B tambien si b+1 no pertenece a B,  b+1

 => a para cierta a pertenece a A y, una b < a, b+1 <= a, de donde b+1=a pertenece a A.

Principio de induccion

Sea M∈N se cumplen las condiciones:
 I) 1 ∈ M
II) n ∈ M, luego n+1 ∈ M

1) Cuanto es la suma de los primeros 100 en N?
 1+2+3+4+...+98+99+100?

 5050

2)Ponerla en un expresion:
1+2+3+4+...+98+99+100

(1+100)=101
(2+99)=101                 = 5050
(3+98)=101
(4+97)=101


Sucesiones:

1) 1,5,9,13 = 4n-3
2) -6,-9,-12,-15 = -3n-3
3) 3,7,11,15 = 4n-1

1,3,5,7 = 2n-1
1+3+5+7+...+2n-1 = n^2

1+5+5^2+5^3+...+5^n-1 = (5^n)-1/4
  (5^n)-1/4      +     5^n-1= (5^n+1)-1/4

Unidades en Z

Se tiene que para un entero un inverso aditivo es lo que le pertenece.
Los unicos elementos de Z que tienen inverso multiplicativo (en Z) son 1 y -1

1-1=1 el 1 es inverso multiplicativo de 1
(-1)(-1)= 1 el 1 es inverso mulpiplicativo de 1
  si "a" > 1

su inverso multiplicativo: a¹ pertenece a Z 
por lo tanto a(a¹) = 1

En un anillo, a los elementos que tienen inverso multiplicativo se llama unidades.
Asi, en el anillo de los Z
 1 y -1 son las unicas unidades

Propiedad transitiva

Si "a","b" y "c" pertenecen a Z + "a">"b">"c" ---> "a">"c"
 Demostración:

 Primera parte:
 "a" > "b"  <-->  "a" - "b" pertenecen a N
 Segunda parte:
 "b" > "c"  <-->  "-b" - "c" pertenecen a N
 Como:
 "a" - "b" pertenecen a N   "b" - "c" pertenecen a N

Podemos hacer la suma:
(a-b) + (b-c) pertenecen a N
(a + (-b)) + (b + (-c)) pertenecen a N
a + ((-b)+b) + (c - c) pertenecen a N
a + 0 + (-c) pertenecen a N
a + (-c) pertenecen a N
a - c pertenecen a N

Podemos decir que:
Si "a-c" pertenecen a N  <--->  "a" > "c"

Si "a" pertenece a Z, se cumple una y solamente una de las condiciones:
  I)"a" > 0
 II)"a" = 0
III)"a" < 0

*Si "a","b" y "c" pertenecen a Z "a" > "b"  --->  "a+c" > "b+c"

Demostración:
"a" > "b"  <-->  "a" - "b" pertenecen a N
ya que:
"a" - "b" = (a+c) - (b+c)
tenemos que:
(a+c) - (b+c) pertenecen a N

*Si "a","b" y "c" pertenecen a Z, "a + b" y "c" > 0  ---> "ac" > "bc"

Demostración:
"a-b" pertenecen a N y "c" pertenecen a N
(a-b) c pertenecen N  <-->  a(-bc)  >  0
"ac" - "bc"  >  0
"ac" + (-bc)  >  0
(ac+(-bc)) + bc > 0 + bc
ac + (-bc + bc) > 0 + bc
ac + 0  >  0 + bc
ac > bc

Orden en Z

Propiedades basicas:

1) La suma de dos numeros naturales es un numero natural
2) El producto de dos numeros naturales es un numero naural
3) Si "a" es un numero entero se cumple una y solamente una de las tres condiciones siguientes:
    I)"a" es un numero natural
   II)"a"=0
  III)"-a" es un numero natural

Definicion:
 Si "a" y "b" pertenecen a Z decimos que:
 "a">"b" <--> "a"-"b" pertenecen a N
 es decir:
 "a">0  <-->  "a" pertenece a N
 ya que "a"-0 = "a"

Propiedad axioma

Si a,b, pertenecen a Z=0 ---> ab≠ 0

a los elementos a,b cuyo producto es cero se llama "divisores cero" por lo tanto en Z NO hay divisores ≠ 0

Dominios en Z

Si A es un anillo conmutativo con 1 en el cual se cumple el axioma se dira que A es un dominio entero por lo tanto podemos decir que Z es un dominio.

En un dominio entero vale la ley de la cancelacion para la multiplicacion.

 Si a,b y c pertenecen a Z a≠ 0 --> ab=ac --> b=c

           ab = ac
ab+(-ac) = ac+(-ac)
     ab-ac = ac-ac
     ab-ac = 0
     a(b-c) = 0
1/a[a(bc)] = 1/a(0)
(1/a*a)(b-c) = 1*0/a
      1(b-c) = 0/a
         b-c = 0
(b-c)+c = 0+c
(b+(-c))+c = 0+c
b+((-c)+c) = 0+c
b+0 = c
b = c

Asi podemos decir que:
 Si Z es un dominio entero, en Z cale la ley de la cancelacion.
 En esta propiedad el factor que podemos cancelar debe ser ≠ 0
 Si a=0 puede ser que ab=ac sin que bc sean iguales.

Propiedades de los anillos

1) Ley de la cancelacion:

Si a,b,c pertenecen a Z    a+b = a+c --=c-> b

 a+b = a+c
 a+(-a)=0

 -a+(a+b) = -a+(a+c)                Aplicando:
 (-a+a)+b = (-a+a)+c                 -El inverso aditivo
    0+b      =     0+c                    -La asociativa para la adicion
         b     =     c                         -El neutro en la adicion



Aplicando los axiomas.
Si a,b,c pertencen a Z  a+c = b+c -> a=b

8x+x = 8+7
-8+(8+x) = -8+(8+7)
(-8+8)+x = (-8+8)+7
     0+x    =    0+7

2) En la multiplicacion:

a pertenece a Z, se tiene que:   a0=0

 0+0 = 0
  0a  =  (0+0)a
        =  0a+0a
        =  0+0
  0a  =  0


El inverso aditivo del inverso aditivo y de a pertenece a Z = a

(-a)+a = 0
-(-a)+(-a)=0
a+(-a) = 0
a+(-a) = (-a)+(-a)
a = -(-a)

Propiedades basicas de las operaciones en Z

Consta de dos operaciones (binarias): + , *

1) Suma en Z es conmutativa: Si a,b pertenecen a Z, entonces
    a+b = b+a   ;   4+5 = 5+4

2)Suma de Z es Asociativa: Si a,b,c pertenecen a Z, entonces
   a+(b+c) = (a+b)+c    ;   3+(4+5) = (3+4)+5

3)En la suma existe un elemento Neutro en Z = 0
   a+0 = 0+a     ;     a=a

4) En el producto de Z es Conmutativo: Si a,b, pertenecen a Z
   a(b) = (b)a    ;   4(5) = 5(4)

5)En el producto de Z es Asociativo: Si a,b,c pertenecen a Z
   a*(b*c) = (a*b)*c    ;    3*(4*5) = (3*4)*5

6)En el producto de E un elemento Neutro en Z :1 ; si a pertenece a Z
   a*1 = 1*a    ;    5*1 =1*5

7)En la suma de Z, existe un numero inverso aditivo; si a pertenece a Z
   a+(-a) = (-a)+a

8)En el producto de Z, el producto  distribuye a la suma; si a,b,c, pertenece a Z
   a(b+c) = ab+ac  -por la derecha
   (a+b)c = ac+bc  -por la izquierda

Numeros Enteros

Con los numeros naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un numero menor hay que restarle uno mayor.
El conjunto de los numeros enteros esta formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

  Z={...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5...}

El valor absoluto de un numero es:
|-5|= 5

Del aleman "Zah" (numeros).

Algunas caracteristicas del conjunto:

1) El minimo en los enteros no existe
2)El maximo en los enteros no existe
3)Es cerrado Z bajo (+)? Si, porque Z1+Z2= Z3
4)Es cerrado Z bajo (*)?Si, porque Z1(Z2)=Z3
5)Por lo tanto  (Z,+,*,<) es un sistema numerico

Anillo en Z

El conjunto Z, con operaciones + o * se forma un anillo.

Sea A un conjunto con dos elementos

 A={a,b}

+|a  b           *|a b 

a|a  b            a|a a

b|b a            b|a b

a+b= b   por lo tanto  a+b=b+a

b+a=b

a(b)=a   por lo tanto  a(b)=(b)a

b(a)=a

_____________________________________________


(a+b)+b = a+b =  b
a+(a+b) = a+b =  b

(a+b)+a = b+a = b
a+(a+b) = a+b = b

(a+b)+b = b+b = a
a+(b+b) = a+a = a

(b+a)+a = b+a = b
b+(a+a) = b+a = b

(b+a)+a = b+b = a
b+(a+b) = b+b = a

(b+b)+a = a+a = a
b+(b+a) = b+b =a

(b+b)+b = a+b = b
b+(b+b) = b+a = b