Principio de Induccion Modificada

Si MCN
 I) 1 pertenece a M
II) Si 1,2,3, ... , n pertenece a M ---> N+1 pertenece a M

Principio del buen orden

Si AC no vacio de N ---> A tiene un elemento que es menor que todos los demas elementos de A.

*)El principio de induccion => El buen orden

Sea A un subconjunto No vacio de N supongamos que A no tiene ningun elemento menor que todos los demas de A, constituyamos un conjunto B con todos los numeros naturales b desigual b < a.

Como ningun elemento es menor que si, B esta contenido en el A' (conjunto complementario de A).

13{ 1,2,3 ... b, b+1} por lo tanto l pertenece a 13

Si 1 no pertenece a A pues de lo contrario en A habria un elemento, el menor que todos los demas de A. Ademas 1 es menor que todos los demas naturales de A, luego 1 pertenece a A.

II) Supongamos que b perteneece a B. Entonces b+1 pertenece a B tambien si b+1 no pertenece a B,  b+1

 => a para cierta a pertenece a A y, una b < a, b+1 <= a, de donde b+1=a pertenece a A.

Principio de induccion

Sea M∈N se cumplen las condiciones:
 I) 1 ∈ M
II) n ∈ M, luego n+1 ∈ M

1) Cuanto es la suma de los primeros 100 en N?
 1+2+3+4+...+98+99+100?

 5050

2)Ponerla en un expresion:
1+2+3+4+...+98+99+100

(1+100)=101
(2+99)=101                 = 5050
(3+98)=101
(4+97)=101


Sucesiones:

1) 1,5,9,13 = 4n-3
2) -6,-9,-12,-15 = -3n-3
3) 3,7,11,15 = 4n-1

1,3,5,7 = 2n-1
1+3+5+7+...+2n-1 = n^2

1+5+5^2+5^3+...+5^n-1 = (5^n)-1/4
  (5^n)-1/4      +     5^n-1= (5^n+1)-1/4

Unidades en Z

Se tiene que para un entero un inverso aditivo es lo que le pertenece.
Los unicos elementos de Z que tienen inverso multiplicativo (en Z) son 1 y -1

1-1=1 el 1 es inverso multiplicativo de 1
(-1)(-1)= 1 el 1 es inverso mulpiplicativo de 1
  si "a" > 1

su inverso multiplicativo: a¹ pertenece a Z 
por lo tanto a(a¹) = 1

En un anillo, a los elementos que tienen inverso multiplicativo se llama unidades.
Asi, en el anillo de los Z
 1 y -1 son las unicas unidades

Propiedad transitiva

Si "a","b" y "c" pertenecen a Z + "a">"b">"c" ---> "a">"c"
 Demostración:

 Primera parte:
 "a" > "b"  <-->  "a" - "b" pertenecen a N
 Segunda parte:
 "b" > "c"  <-->  "-b" - "c" pertenecen a N
 Como:
 "a" - "b" pertenecen a N   "b" - "c" pertenecen a N

Podemos hacer la suma:
(a-b) + (b-c) pertenecen a N
(a + (-b)) + (b + (-c)) pertenecen a N
a + ((-b)+b) + (c - c) pertenecen a N
a + 0 + (-c) pertenecen a N
a + (-c) pertenecen a N
a - c pertenecen a N

Podemos decir que:
Si "a-c" pertenecen a N  <--->  "a" > "c"

Si "a" pertenece a Z, se cumple una y solamente una de las condiciones:
  I)"a" > 0
 II)"a" = 0
III)"a" < 0

*Si "a","b" y "c" pertenecen a Z "a" > "b"  --->  "a+c" > "b+c"

Demostración:
"a" > "b"  <-->  "a" - "b" pertenecen a N
ya que:
"a" - "b" = (a+c) - (b+c)
tenemos que:
(a+c) - (b+c) pertenecen a N

*Si "a","b" y "c" pertenecen a Z, "a + b" y "c" > 0  ---> "ac" > "bc"

Demostración:
"a-b" pertenecen a N y "c" pertenecen a N
(a-b) c pertenecen N  <-->  a(-bc)  >  0
"ac" - "bc"  >  0
"ac" + (-bc)  >  0
(ac+(-bc)) + bc > 0 + bc
ac + (-bc + bc) > 0 + bc
ac + 0  >  0 + bc
ac > bc

Orden en Z

Propiedades basicas:

1) La suma de dos numeros naturales es un numero natural
2) El producto de dos numeros naturales es un numero naural
3) Si "a" es un numero entero se cumple una y solamente una de las tres condiciones siguientes:
    I)"a" es un numero natural
   II)"a"=0
  III)"-a" es un numero natural

Definicion:
 Si "a" y "b" pertenecen a Z decimos que:
 "a">"b" <--> "a"-"b" pertenecen a N
 es decir:
 "a">0  <-->  "a" pertenece a N
 ya que "a"-0 = "a"

Propiedad axioma

Si a,b, pertenecen a Z=0 ---> ab≠ 0

a los elementos a,b cuyo producto es cero se llama "divisores cero" por lo tanto en Z NO hay divisores ≠ 0

Dominios en Z

Si A es un anillo conmutativo con 1 en el cual se cumple el axioma se dira que A es un dominio entero por lo tanto podemos decir que Z es un dominio.

En un dominio entero vale la ley de la cancelacion para la multiplicacion.

 Si a,b y c pertenecen a Z a≠ 0 --> ab=ac --> b=c

           ab = ac
ab+(-ac) = ac+(-ac)
     ab-ac = ac-ac
     ab-ac = 0
     a(b-c) = 0
1/a[a(bc)] = 1/a(0)
(1/a*a)(b-c) = 1*0/a
      1(b-c) = 0/a
         b-c = 0
(b-c)+c = 0+c
(b+(-c))+c = 0+c
b+((-c)+c) = 0+c
b+0 = c
b = c

Asi podemos decir que:
 Si Z es un dominio entero, en Z cale la ley de la cancelacion.
 En esta propiedad el factor que podemos cancelar debe ser ≠ 0
 Si a=0 puede ser que ab=ac sin que bc sean iguales.

Propiedades de los anillos

1) Ley de la cancelacion:

Si a,b,c pertenecen a Z    a+b = a+c --=c-> b

 a+b = a+c
 a+(-a)=0

 -a+(a+b) = -a+(a+c)                Aplicando:
 (-a+a)+b = (-a+a)+c                 -El inverso aditivo
    0+b      =     0+c                    -La asociativa para la adicion
         b     =     c                         -El neutro en la adicion



Aplicando los axiomas.
Si a,b,c pertencen a Z  a+c = b+c -> a=b

8x+x = 8+7
-8+(8+x) = -8+(8+7)
(-8+8)+x = (-8+8)+7
     0+x    =    0+7

2) En la multiplicacion:

a pertenece a Z, se tiene que:   a0=0

 0+0 = 0
  0a  =  (0+0)a
        =  0a+0a
        =  0+0
  0a  =  0


El inverso aditivo del inverso aditivo y de a pertenece a Z = a

(-a)+a = 0
-(-a)+(-a)=0
a+(-a) = 0
a+(-a) = (-a)+(-a)
a = -(-a)